一个代数数（algebraic number），是指某个具有整数系数的多项式（polynomial with integer coefficients）的根。
一个超越数（transcendental number），则是任何不是代数数的数。
本文将逐步拆解这些定义，考察两类数的若干性质，并展示它们在数学各分支中的用途。我们这里只讨论实数，但这些概念同样适用于复数。
代数数的定义
如前所述，代数数就是某个整数系数多项式的根。换言之，任何能解如下方程的数，都是代数数：
其中所有的系数都必须是整数，这当然包括正数、负数以及零。在数学符号中，我们通常写作这些系数属于整数集合 ℤ：
同时我们还需说明：最高次项系数 a_n 不能为零。原因很简单——如果最高次项的系数为零，那么该项就会被省略，方程的次数会下降。例如，一个“立方多项式”若其三次项系数为零，实际上就是一个二次多项式：
代数数的简单例子
那么，有哪些具体的代数数呢？我们可以先考察一些简单整数多项式的根。根据定义，任何这类多项式的根，都是代数数。
首先来看一个一次多项式（也就是线性方程），其中 a 是整数：
该方程的解x = a。因此，根据定义，a 是代数数。既然 a 可以是任何整数，那么所有整数都是代数数。
再看另一种情况：
它的解为 x=a/b，其中 a，b 为整数且 b≠0。这意味着所有有理数（rational numbers）都是代数数。
接下来看看二次多项式（quadratic polynomial）。举个简单的例子：
解得 ：
此方程在 a/b 为正数时（即 a，b 同号）才有实根，而在这种情况下，正负平方根均为解：
这意味着——任何有理数的平方根都是代数数。当 b=1时，a/b 就是整数，因此任何整数的平方根也是代数数。
类似地，我们可以看一个立方多项式（cubic polynomial）：
此时，方程的根就是该数的立方根：
与平方根不同的是，这里 a，b 不必同号，因为负数也有实数立方根。这说明：任何有理数（以及当然的整数）的立方根，也是代数数。
我们不再逐一展示，但逻辑已经很清楚：一般地，任何有理数的 n 次方根都是代数数，整数是其特例。
更多代数数的例子
我们已经知道：有理数及其根都是代数数。那么，如果我们把它们进行一些组合运算呢？例如，一个数与它的根的和：
乍看之下，这个形式似乎像某个二次方程的根（根据标准的二次求根公式）。可以检验一下：是否存在一个整数系数多项式，其根恰好是上述表达式？要做到这一点，我们需要消去方程中含根的项。首先来求它的平方：
接着， x^2中减去 4x，可以消掉根号项，只剩整数系数：
因此可以写成：
也就是说，一个“数与一个平方根之和”，实际上是某个二次方程的根，因此它是一个代数数。
我们在此不再逐步证明，但用同样的方法，可以说明——任意一个“有理数 + 有理数的根”，都可以构造出一个整数系数多项式，使其成为根。更进一步，只要一个表达式仅包含有理数、它们的根、以及加减乘除这些基本运算，我们总能找到一个整数多项式，它是该多项式的解。
因此，我们得到一个普遍规则：
凡是只包含有理数、整数次方根、整数幂，以及加、减、乘、除的表达式，其结果都是代数数。
任何符合这一规则的数，都是代数数。但正如我们马上会看到的——并非所有代数数都能用这种形式表示。
无法“代数求解”的代数数
众所周知，二次公式可以解任何二次方程。并且因为这些方程的系数若是整数，其根必然是代数数。同样，我们也有类似的解析公式，可以解三次方程与四次方程（即最高次幂为 3 或 4 的多项式）。
然而，对于五次方程（quintic）及更高次数的多项式，情况完全不同。数学上已证明——不存在类似的“通用代数求根公式”。有时我们可以巧妙地把五次方程因式分解（factorise），例如：
可以被分解为：
但并非总能如此。例如：
对于这个多项式，目前没有任何精确的代数分解形式。这意味着：我们无法将它的根用前述的“加减乘除与开方”这类基本运算精确表达出来。
如果一个方程无法精确分解，那是否意味着它没有根？当然不是。我们只要作图即可发现——它确实有一个实根：
其实数根约为 -1.1673。此外，它还有四个复数根。这些数算是代数数吗？答案是：当然是。
它们都是某个整数系数多项式的根，因此根据定义，它们是代数数。只是我们无法用简单的代数运算表达它们而已。
可以将刚才的规则修正为：
任何只使用有理数、整数根与幂、加减乘除所构成的表达式都是代数数，但并非所有代数数都能用这种形式表达。
换言之：有些代数数无法被“代数式”写出。
那么，我们该如何找到这些根？
对于那些无法代数求解的五次方程，我们该如何找到它们的根呢？答案是不能精确地找到它们。只能通过数值方法（numerical methods）来求得近似值。
例如，可以使用区间平分法（interval bisection）：在某个范围（例如 −1.6 附近）尝试不同的 x 值，并逐步缩小区间，直到找到一个 x 值，使得函数结果越来越接近零。
另一种方法是使用牛顿迭代法（Newton’s method），这是一种收敛速度更快的迭代算法。
这似乎有些“不够优雅”，但如果仔细想想，我们在许多情况下其实都是这样做的。
举例来说，我们都知道一个方程的解是根号2。我们给这个值取了名字，但它的确切数值是什么呢？没有人知道。因为根号2 是无理数，它没有有限或循环的小数展开。只能通过近似计算来求它的值，而通常使用的正是牛顿法或类似算法。
所以，这与求“无法解析求根”的多项式的近似根，本质上并无不同。
代数数的集合是可数的
我们知道“无穷集合”可以分为两类：可数（countable）与不可数（uncountable）。整数集合是无穷的，但可数；实数集合则是不可数的。那么，代数数的集合又属于哪一类呢？
我们知道——每个代数数都是某个整数多项式的根。那这些根是否可以被“数清楚”呢？让我们分步骤来分析：首先，考虑一次多项式（order 1 polynomial）：
其中系数 a_0 是整数，所以 a_0 的所有可能取值构成一个可数集合。同样，a_1 也是如此。
有一个定理：有限个可数集的笛卡尔积仍然是可数集。因此，所有可能的系数对 (a_0，a_1) 构成的集合是可数的。而每个多项式都有且仅有一个根，因此所有一次多项式的根的集合也是可数的。
接着考虑二次多项式（order 2 polynomial）：
此时系数为三元组 (a_0，a_1， a_2)每个系数都是整数，所以三元组的集合也是可数的。每个二次方程至多有两个根，因此所有二次方程根的集合依然可数。
同样的逻辑适用于三次、四次以及任意更高次的多项式。每一类固定次数的多项式，其所有根的集合都是可数的。
再用另一个集合论定理：
任意可数个可数集合的并集，仍然是可数集合。
既然有“次数为 1、2、3、4、…”这些可数多项式族，并且每一族的根集可数，那么它们的并集（即所有整数系数多项式的所有根）仍然是可数的。
因此，我们得出结论：
代数数的集合是可数的。
超越数（Transcendental numbers）
正如前面所说，任何不是代数数的数，就是超越数。换句话说，超越数是指那些不是任何整数系数多项式的根的数。
在研究代数数的早期，人们并不确定——超越数是否真的存在。毕竟，我们能通过各种有理数与无理根的组合，创造出无数代数数；那是否意味着“所有实数”都可以通过这种方式生成呢？
顺便一提，我们现在知道：代数数集合是可数的，而实数集合是不可数的。由于不可数集的规模严格大于可数集，实数中必定存在不属于代数数的部分——这部分数即为超越数。
但这种认识来源于康托尔（Cantor）的集合论，而在他出生之前，超越数的存在还只是一个未解之谜。
即便后来人们知道超越数必然存在，要真正找到一个例子却极其困难。
因为我们必须证明：这个数不可能是任何一个整数系数多项式的根——换句话说，要排除所有可能的多项式。这种证明极为艰难。
确实，数学家们花费了巨大心力才找到确凿的例子。直到今天，仍有许多被认为“几乎肯定是超越数”的数，但尚无人能给出严格证明。
本节我们不讨论那些复杂的证明细节，它们将留待后文专篇介绍。
刘维尔常数（The Liouville constant）
第一个被严格证明为超越数的，是由约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）构造出的一个特殊数，称为刘维尔常数（Liouville constant）。
这个数是他有意设计出来，为了能够明确证明其超越性。它定义如下：
为了理解这个数，我们先来看它的前几个项：
每一项的形式是 10^{-n!}，也就是说，它在小数部分第 n! 位上出现一个“1”，其余全是“0”。因此：
第一项在小数第 1 位有一个 1；
第二项在第 2 位；
第三项在第 6 位；
第四项在第 24 位；以此类推。
把这些项全部相加后，得到一个小数——绝大部分都是“0”，只有极稀疏的位置上有一个“1”。
由于阶乘 n! 的增长极快，这些“1”之间的间隔也会越来越大。例如，10!=3,628,800，因此第十项就是一个小数点后接三百六十多万个零，再接一个“1”。
在此不写出完整证明（，这里只给出证明思路：
设 L_n 表示刘维尔常数 L 截断至第 n 位小数。可以证明：如果 L 是某个整数系数多项式的根，那么在 n 足够大时，所有 L_n 也必须是该多项式的根。原因在于：随着取更多的小数位，“1” 出现得越来越稀疏，当在某个位置截断后，其影响几乎消失，得到的 L_n 仍满足相同的方程。
这样一来，所有 L_n都是解，也就是说这个多项式将有无穷多个根。但一个多项式不可能拥有无限多个不同的根。因此，L 不可能是任何整数系数多项式的解。
由此可证，刘维尔常数是超越数。
超越的数学常数
我们熟知的两个数学常数——π（圆周率）和 e（欧拉数）——都已经被证明是超越数。
除此之外，还有若干数学表达式也被证明是超越的，例如：
e^π
e^a，其中 a 为任意代数数（但 a≠0）
换句话说，凡是以代数数为指数的 e 的幂，都是超越数。
这些数都是超越数：
然而，也存在一些类似形式的组合，例如含有 π 与 e 的复杂混合项——目前尚无人能证明它们是否超越。这并不意味着它们不是超越数；大多数学者认为它们极有可能是，但到目前为止，还没有找到确凿的证明。
希尔伯特数（Hilbert’s number）
“希尔伯特数”非常有趣，因为它只由整数与平方根组成：
为什么这个数不是代数数呢？回忆一下：一个数若只由有理数和根式，通过加、减、乘、除运算得到，那么它必然是代数数。
但在这里，2 被 提升到了根号2 次幂。“幂运算”超出了我们先前规则中的允许范围。只有整数幂才是允许的，因为那可以用有限次乘法表达；而把一个数提升到无理指数时，这种操作无法用有限代数运算表达。
这一点本身并不能直接证明它是超越数——它只是提示我们它可能是。然而，大卫·希尔伯特（David Hilbert）确实证明了它的超越性，因此这个数后来便以他的名字命名。
超越数的集合是不可数的
我们知道，每一个实数要么是代数数，要么是超越数。先前已经证明过：
代数数的集合是可数的。
现在我们来看看：超越数的集合是否可数？
为了简洁起见，直接使用一些集合论中公认的事实（不做证明）：
实数集合是不可数的。与代数数不同，实数无法被一个一个地列出来或编号，尽管代数数是无限多的，但实数的数量远远超出它。
如果从一个不可数集合中移除一个可数集合，剩下的仍是不可数集合。换句话说，假如我们从实数（不可数）中去掉所有代数数（可数），那么剩下的集合——也就是超越数集合——仍然是不可数的。
由此我们得出结论：
超越数的集合是不可数的。
这结论颇具反直觉。我们熟悉的代数数多如繁星——所有整数、分数、各种平方根、立方根……全都属于代数数。而多数人能叫出名字的超越数，也不过 π 和 e 而已。
但事实上，几乎所有的实数都是超越数。那些代数数，反而只是浩瀚数轴上极其稀少的点点孤星。